SOAL Matematika Diskrit (3 SKS) Dosen: Ririen Kussumawati S.Si.M.Kom ~ Angga Debby Frayudha

1. Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa dia belajar Algoritma tetapi tidak belajar Matematika”.

(a) Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik

(b) Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut

(Petunjuk: gunakan hukum De Morgan)

Penyelesaian:

Misalkan : p = “Dia belajar Algoritma”

q = “Dia belajar Matematika”

(a) ~ (p

~ q)

(b) ~ (p

~ q) = ~ p

q (Hk De Morgan)

“Dia tidak belajar Algoritma atau belajar Matematika”

2. Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa penjualan merosot maupun pendapatan tidak naik”

Misalkan:

p = “penjualan merosot”

q = “pendapatan naik”

(a) Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik.

~ ( p Ù ( ~ q ) )

(b) Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut (petunjuk: gunakan Hukum de Morgan).

~ ( p Ù ( ~ q ) ) = ~ p Ú ~ (~q ) ) [Hukum de Morgan]

= ~ p Ú q [Hukum Involusi]

“penjualan tidak merosot atau pendapatan naik”

3. Diberikan pernyataan “Perlu memiliki password yang sah agar anda bisa log on ke server”

(a) Nyatakan pernyataan di atas dalam bentuk proposisi “jika p, maka q”.

(b) Tentukan ingkaran, konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan : p = “Anda bisa log on ke server”

q = “Memiliki password yang sah”

(a) “Jika anda bisa log on ke server maka anda memiliki password yang sah

(b)

1) Ingkaran :

“Anda bisa log on ke server dan anda tidak memiliki password yang sah”

2) Konvers :

“Jika anda memiliki password yang sah maka anda bisa log on ke server”

3) Invers :

“Jika anda tidak bisa log on ke server maka anda tidak memiliki password yang sah”

4) Kontraposisi :

“Jika anda tidak memiliki password yang sah maka anda tidak bisa log on ke server”

4. Diberikan pernyataan “Untuk mendapatkan satu kupon undian, Anda cukup membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-”.

statement: if p then q

converse: if q then p

inverse: if not p then not q

contrapositive: if not q then not p

a Nyatakan pernyataan di atas dalam bentuk proposisi “jika p, maka q”.

“Jika Anda membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-, maka Anda mendapatkan satu kupon undian”

b. Tentukan ingkaran, konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan tersebut.

Ingkaran (negasi):

p ® q Û ~ p Ú q

~ ( p ® q) Û ~ (~p Ú q)

Û p Ù ~ q [Hukum de Morgan]

“Anda membeli dua produk senilai Rp. 50.000,- dan Anda tidak mendapatkan satu kupon undian”

Konvers:

“Jika Anda mendapatkan satu kupon undian, maka Anda membeli dua produk Rp. 50.000,-”

Invers:

“Jika Anda tidak membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-, maka Anda tidak mendapatkan satu kupon undian”

Kontraposisi:

“Jika Anda tidak mendapatkan satu kupon undian, maka Anda tidak membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-”

5. Tunjukkan bahwa [ p Ù ( p ® q ) ] ® q adalah tautologi.

Tabel kebenaran

p	q	p ® q	p Ù ( p ® q )	[ p Ù ( p ® q ) ] ® q
T	T	T	T	T
T	F	F	F	T
F	T	T	F	T
F	F	T	F	T

Dari tabel kebenaran, terlihat bahwa [ p Ù ( p ® q ) ] ® q selalu bernilai benar dan karenanya merupakan sebuah tautologi

6. Tunjukkan bahwa [~p Ù (p Ú q)] ® q adalah tautologi.

Penyelesaian:

P	q	~p	pq	~p (pq)	[~p (pq)] → q
B	B	S	B	S	B
B	S	S	B	S	B
S	B	B	B	B	B
S	S	B	S	S	B

Terlihat bahwa [ ~ p

( p

q) ] → q adalah tautologi.

7. Berapa banyak bilangan bulat antara 501 sampai 1000 yang tidak habis dibagi 3 atau 5?

Misalkan:

Z = himpunan bilangan bulat

A = {x | x Î Z, 501 £ x £ 1000, x habis dibagi 3}

B = {x | x Î Z, 501 £ x £ 1000, x habis dibagi 5}

Maka, banyaknya bilangan bulat antara 501 sampai 1000 yang tidak habis dibagi 3 atau 5 dapat dinotasikan dengan |U| - |A È B| dengan |U| menyatakan banyaknya bilangan bulat di antara 501 sampai 1000

|A È B| = |A| + |B| - |A Ç B|

= (ë1000 / 3û – ë500 / 3û) + (ë1000 / 5û – ë500 / 5û)

- (ë1000 / (3 * 5) û – ë500 / (3 * 5)û)

= 167 + 100 – 33

= 234

sehingga

|U| - |A È B|= 500 – 234 = 266

jadi, banyaknya bilangan bulat antara 501 sampai 1000 yang tidak habis dibagi 3 atau 5 adalah 266 bilangan.

8. Berapa banyak bilangan bulat antara 501 sampai 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5?

Penyelesaian:

Misalkan : Himpunan A berisi semua bilangan antara 501-1000 yg habis dibagi tiga

Himpunan B berisi semua bilangan antara 501-1000 yg habis dibagi lima

Maka irisan Himp A dan Himp B adalah Himp C yang berisi semua bilangan antara 501-1000 yg habis dibagi tiga dan lima.

Pertanyaan : Berapa banyak bilangan antara 501-1000 yg habis dibagi tiga tetapi tidak habis dibagi lima? (asumsi : 501 dan 1000 diikutsertakan)

Jawab : | A | - | C |

| A | = ((1000 / 3) – (500 / 3) = 167 buah

| C | = (500) / 15 = 33,3333 buah ≈ 33 buah, dibulatkan ke bawah karena range antara 501-1000.

| A | - | C | = 134 buah.

9. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Gunakan hukum-hukum aljabar himpunan dan prinsip dualitas untuk menentukan hasil dari operasi himpunan